从内部失衡到外部失衡

对应书本第10章节

国民经济统计

国际收支平衡表(BOP)

国际投资头寸表(IIP)

国民收入恒等式

\[\begin{split} \begin{array}{lcr} \text{Y} &=& \text{C$+$I$+$NX} \\ \text{Y} &=& \text{C$+$I$+$CA} \\ \text{S} &=& \text{I$+$CA} \end{array} \end{split}\]

Hint

经常账的账户种解读方式

• \( \text{CA} = \text{Y} - (\text{C} + \text{I}) = \text{产出} - \text{消费}\)

• \(\text{CA} = \text{S} - \text{I} = \text{储蓄} - \text{投资}\)

全球失衡和过剩储蓄

Caution

补充图表

全球失衡的模型分析

模型设定

• 模型中同时存在国内和国外两市场，国内市场为居民和国有企业两部门，国外市场为居民和私有企业两部门

  • 国内市场两部门同时拥有资本

  • 国外市场仅居民部门持有资本，根据之前章节模型，居民持有与私有企业持有时，居民效用不变，故此处简单化处理

• 存在国际资本市场

  • 国内居民在第1期借入 \(b_{c1}\) ，国内企业在第1期借入 \(b_{f1}\) ，国外居民在第1期借入 \(b_1^*\)

  • 国际资本的必要回报率记为 \(r_{g2}\) ，并且需要在第二期生产结束后归还

模型构建

时序图

Fig. 6 时序图

本国居民

居民的最优化效用函数仍然为

\[ \max_{c_1, c_2, b_{c1}, k_{c1}}u(c_1) + \beta u(c_2) \]

根据消费品为计价物，两期的约束条件可以记作

\[\begin{split} \begin{cases} c_1 + k_{c1} & \le (1 + r_1)k_{c0} + w_1L + b_{c1} \\ c_2 & \le (1 + r_2)k_{c1} + w_2L - (1 + r_{g2})b_{c1} \end{cases} \end{split}\]

设定拉格朗日函数

\[ \mathcal{L} = u(c_1) + \beta u(c_2) + \lambda_1[(1 + r_1)k_{c0} + w_1L + b_{c1} - c_1 - k_{c1}] + \lambda_2[(1 + r_2)k_{c1} + w_2L - (1 + r_{g2})b_{c1} - c_2] \]

一阶优化条件为

\[\begin{split} \begin{align*} & c_1: & u'(c_1) & = \lambda_1 \\ & c_2: & \beta u'(c_2) & = \lambda_2 \\ & k_{c1}: & \lambda_1 & = \lambda_2(1 + r_2) \\ & b_{c1} & \lambda_1 & = \lambda_2(1 + r_{g2}) \end{align*} \end{split}\]

消去其中的拉格朗日乘子 \(\lambda_1\) 、 \(\lambda_2\) ，可得

\[\begin{split} \begin{align*} & u'(c_1) = \beta u'(c_2) ( 1 + r_2) \\ & u'(c_1) = \beta u'(c_2) ( 1 + r_{g2}) \end{align*} \end{split}\]

由以上可知， \(r_2 = r_{g2}\)

Hint

\(r_2 = r_{g2}\) 无论居民是通过借出资金、或是接入资金作为投资，只有在两种方式的收益率想等时，居民消费储蓄才能达到最佳效用，否则，居民可以通过向收益率高的风向转移资源配置以获取更高的收益率，而随着收益更高的方向资源变多，其边际收益率会不断降低，直至两者收益率相等

本国企业

模型中，本国企业仍为国企，居民无控制权，所以企业仍然以企业资本存量最大化为目标，即

\[ \max_{l_1^d, l_2^d, k_0^d, k_1^d, k_{f1}, b_{f1}} AF(k_{f1} + k_1^d, l_2^d) - w_2l_2^d - r_2k_1^d -(1 + r_{g2})b_{f1} + k_{f1} \]

第1期的约束条件分别可以记作

\[ k_{f1} \le AF(k_{f0} + k_0^d, l_1^d) - w_1l_1^d - r_1k_0^d + b_{f1} + k_{f0} \]

当目标去最优时，显然上式应该去等式，可得

设置拉格朗日函数，可得

\[ \mathcal{L} = AF(k_{f1} + k_1^d, l_2^d) - w_2l_2^d - r_2k_1^d -(1 + r_{g2})b_{f1} + k_{f1} + \lambda [AF(k_{f0} + k_0^d, l_1^d) - w_1l_1^d - r_1k_0^d + b_{f1} + k_{f0} - k_{f1}] \]

相应的一阶条件为

\[\begin{split} \begin{align*} k_0^d: AF_1(k_{f0} + k_0^d, l_1^d) &= r_1 \\ k_1^d: AF_1(k_{f1} + k_1^d, l_2^d) &= r_2 \\ l_1^d: AF_2(k_{f0} + k_0^d, l_1^d) &= w_1 \\ l_2^d: AF_2(k_{f1} + k_1^d, l_2^d) &= w_1 \\ k_{f1}: AF_1(k_{f1} + k_1^d, l_2^d) &= -1 + \lambda \\ b_{f1}: \qquad \qquad 1 + r_{g2} &= \lambda \end{align*} \end{split}\]

通过消去拉格朗日乘子，可得 \(AF_1(k_{f1} + k_1^d, l_2^d) = r_{g2} = r_2 \)

Hint

与本国居民的理由一致，只有当企业的边际资本回报率与国内资本回报率、国际资本回报率一致时，企业得以实现最优化目标

外国居民

外国居民的最优化效用函数与国内居民一致，仍然为

\[ \max_{c_1^*, c_2^*, b_1^*, k_1^*} u(c_1^*) + \beta u(c_2^*) \]

根据消费品为计价物，两期的约束条件可以记作

\[\begin{split} \begin{cases} c_1^* + k_1^* & \le (1 + r_1^*)k_0^* + w_1^*L^* + b_1^* \\ c_2^* & \le (1 + r_2^*)k_1^* + w_2^*L^* - (1 + r_{g2}^*)b_1^* \end{cases} \end{split}\]

设定拉格朗日函数

\[ \mathcal{L} = u(c_1^*) + \beta u(c_2^*) + \lambda_1[(1 + r_1^*)k_0^* + w_1^*L^* + b_1^* - c_1^* - k_1^*] + \lambda_2[(1 + r_2^*)k_1^* + w_2^*L^* - (1 + r_{g2}^*)b_1^* - (1 + r_{g2}^*)b_1^* - c_2^*] \]

一阶优化条件为

\[\begin{split} \begin{align*} & c_1^*: & u'(c_1^*) & = \lambda_1 \\ & c_2^*: & \beta u'(c_2^*) & = \lambda_2 \\ & k_1^*: & \lambda_1 & = \lambda_2(1 + r_2^*) \\ & b_1^* & \lambda_1 & = \lambda_2(1 + r_{g2}^*) \end{align*} \end{split}\]

消去其中的拉格朗日乘子 \(\lambda_1\) 、 \(\lambda_2\) ，可得

\[\begin{split} \begin{align*} & u'(c_1^*) = \beta u'(c_2^*) ( 1 + r_2^*) \\ & u'(c_1)^* = \beta u'(c_2^*) ( 1 + r_{g2}^*) \end{align*} \end{split}\]

由以上可知， \(r_2^* = r_{g2}^*\)

外国企业

外国企业为私有企业，所以第 \(t=1,2\) 期的最优化问题为

\[ \max_{k_{t-1}^{d*}, l_t^{d*}} AF(k_{t-1}^{d*}, l_t^{d*}) - w_t^*l_t^{d*} - r_t^*k_{t-1}^{d*} \]

企业目标最优时，一阶条件为

\[\begin{split} \begin{align*} k_0^{d*}: AF_1(k_0^{d*}, l_1^{d*}) = r_1^* \\ k_1^{d*}: AF_1(k_1^{d*}, l_2^{d*}) = r_2^* \\ l_1^{d*}: AF_2(k_0^{d*}, l_1^{d*}) = w_1^* \\ l_2^{d*}: AF_2(k_1^{d*}, l_2^{d*}) = w_2^* \\ \end{align*} \end{split}\]

均衡分析

在均衡时，国内、国外劳动力市场和资本市场以及国际资本市场君需要出清，所以，可得

\[\begin{split} \begin{align*} & b_{c1} + b_{f1} + b_1^* = b_1 + b_1^d = 0 \\[2ex] & l_1^d = l_2^d = l_1^{d*} = l_2^{d*} = L \\ & k_0^d = k_{c0} , k_1^d = k_{c1} \\ & k_0^{d*} = k_0^* , k_1^{d*} = k_1^* \\ \end{align*} \end{split}\]

对上述企业的一阶段条件变换，由于有 \(k_{c0} + k_{f0} = k_0, \quad k_{c1} + k_{f1} = k_1\) ，可得

\[\begin{split} \begin{align*} AF_1(k_0, L) &= r_1, && AF_1(k_0^*, L) = r_1^* \\ AF_1(k_1, L) &= r_2, && AF_1(k_1^*, L) = r_2^*\\ AF_2(k_0, L) &= w_1, && AF_2(k_0^*, L) = w_1^* \\ AF_2(k_1, L) &= w_1, && AF_2(k_1^*, L) = w_2^* \end{align*} \end{split}\]

分别根据本国企业和外国企业，可知 \(r_2 = r_{g2} = r_2^*\) ，可知

\[ AF_1(k_1, L) = AF_1(k_1^*, L) \]

本国居民两期的消费预算约束可以写为下时

\[\begin{split} \begin{align*} & c_1 = k_0 + AF(k_0, L) - k_1 + b_1 \\ & c_2 = k_1 + AF(k_1, L) - (1 + r_1)(1 + r_2)k_{f0} - (1 + r_2)b_1 \end{align*} \end{split}\]

定义 \(k_{f0} = \theta k_1, k_{c0} = (1 - \theta)k_1\)，并将资本回报率的表达式带入，可得

\[ c_2 = k_1 + AF(k_1, L) - [1 + AF_1(k_0, L)][1 + AF_1(k_1, L)] \theta k_0 - [1 + AF_1(k_1, L)]b_1 \]

同样的，可以推算外国居民两期的消费预算约束可以写为

\[\begin{split} \begin{align*} & c_1^* &=& k_0^* + AF(k_0^*, L) - k_1^* + b_1^* \\ & c_2^* = k_1^* + AF(k_1^*, L) - (1 + r_2^*)b_1^* &=& k_1^* + AF(k_1^*, L) - [1 + AF_1(k_1^*, L)]b_1^* \end{align*} \end{split}\]

带入资本回报率的表达是到国内居民与国外居民的欧拉方程，可得

\[\begin{split} \begin{align*} u'(c_1) = \beta u'(c_2) [1 + AF_1(k_1, L)] \\ u'(c_1^*) = \beta u'(c_2^*) [1 + AF_1(k_1^*, L)] \end{align*} \end{split}\]

我们将以上所有的等式组合到一起，可以得到

\[\begin{split} \begin{align*} & \text{本国} \begin{cases} u'(c_1) = \beta u'(c_2) [1 + AF_1(k_1, L)] \\ c_1^* = k_0^* + AF(k_0^*, L) - k_1^* \color{red}{+ b_1^*} \\ c_2 = k_1 + AF(k_1, L) - [1 + AF_1(k_0, L)][1 + AF_1(k_1, L)] \theta k_0 \bbox[5px, border: 2px solid red]{- [1 + AF_1(k_1, L)]b_1} \end{cases} \\ & \text{外国} \begin{cases} u'(c_1^*) = \beta u'(c_2^*) [1 + AF_1(k_1^*, L)] \\ c_1^* = k_0^* + AF(k_0^*, L) - k_1^* \color{red}{+ b_1^*} \\ c_2^* = k_1^* + AF(k_1^*, L) \bbox[5px, border: 2px solid red]{- [1 + AF_1(k_1^*, L)]b_1^*} \end{cases} \\ & \text{关联} \begin{cases} b_1 + b_1^* = 0 \\ k_1 = k_1^* \end{cases} \end{align*} \end{split}\]

数量分析

Caution

需要替换

习题